DFS, DTFT与DFT

这篇博客是为了便于直观理解各种傅里叶级数/变换公式的得来，必须指出：本文的推导在数理上是不严谨的。

关于连续傅里叶级数与变换的数理推导与关系，请参阅@IcyChlorine所写的笔记【终结】一份傅里叶笔记。

DFS: 离散傅里叶级数

适用情形：对于周期为$N$的离散周期序列$\widetilde{x}(n)$
$$
\begin{cases}
\widetilde{x}(n)=IDFS[\widetilde{X}(k)]=\sum_{k=0}^{N-1}\widetilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn} \\
\widetilde{X}(k)=DFS[\widetilde{x}(n)]=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
\end{cases}
$$

形式

对于连续傅里叶级数，有：
$$
\widetilde{f}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}F_ne^{jk\omega_0t}
$$
由$t\to n,T\to N,\omega_0=\frac{2\pi}{N}$，则离散DFT的形式为：
$$
\widetilde{x}(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\widetilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
$$

注意到，$e$指数部分以$N$为周期，因此作退化，得到DFS形式：
$$
\widetilde{x}(n)=\sum_{k=0}^{N-1}\widetilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
$$

系数

PPT上对离散情形的系数做了严格的数学推导，但过程比较晦涩，这里依然采用连续情形进行类比，但在数理上这是不严谨的。

依然考虑连续情形，系数：
$$
F_n=\frac1T\int_{t_0}^{T+t_0}\widetilde{f}(t)e^{-jn\omega_0t}dt
$$
由$t\to n,T\to N,\omega_0=\frac{2\pi}{N}$，则离散DFT的系数：
$$
\widetilde{X}(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
$$
事实上，$\widetilde{X}(k)$也是以$N$为周期的序列。

DTFT: 离散时域傅里叶变换

将DFS推广到非周期情形，即$N\to\infty$，则得到DTFT。

$$
\begin{cases}
X(e^{j\omega})=DTFT[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} \\
x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega})]=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega
\end{cases}
$$
正变换将离散序列变换为连续信号，而反变换将离散信号变换为连续信号。

正变换

周期信号的DFS：
$$
\widetilde{X}(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
$$
取$N\to\infty$，有$\frac{2\pi}Nk\to\omega$，得到：
$$
\lim\limits_{N\to \infty}N\widetilde{X}(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}
$$
由于$n$为整数，因此对于上式右侧，$\omega$以$2\pi$为周期，从而可以改写上式左侧、记$\lim\limits_{N\to \infty}N\widetilde{X}(k)=X(e^{j\omega})$，则得到正变换：
$$
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}
$$

逆变换

取$N\to\infty$，比对$X(e^{j\omega})$与$\widetilde{X}(k)$：
$$
\widetilde{X}(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=\frac1N\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jk\omega_0 n}=\frac1NX(e^{jk\omega_0})
$$
值得注意的是：上述等式将在进行单周期傅里叶变换时严格成立。带入$\widetilde{x}(n)$的表达式，得到：
$$
\widetilde{x}(n)=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X(e^{jk\omega_0})e^{j\omega_0kn}=\frac1{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}X(e^{jk\omega_0})e^{j\omega_0kn}\omega_0
$$
再次取极限，得出反变换式：
$$
x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega
$$
注：由于$k\omega_0$在$2\pi$范围内变化，因此积分区间是$2\pi$. 事实上，将正变换带入上式，发现等式成立。

周期信号情形

不妨设$X(e^{j\omega})=2\pi\sum_{r=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_0+2\pi r)$，带入IDTFT有：
$$
x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega=e^{j\omega_0n}
$$
这是一个周期函数，由此最终可推导出周期信号下的DTFT：
$$
DTFT(\widetilde{x}[n])=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\widetilde{X}(k)\delta(\omega-\frac{2\pi k}{N})
$$
将其中冲激函数的权重记作$X(e^{j\omega})$，则有：
$$
X(e^{j\omega})=2\pi\widetilde{X}(k),~{\omega=\frac{2\pi}{N}k}
$$
单周期傅里叶变换时，有如下严格的等式：
$$
\widetilde{X}(k)=\frac1NX_0(e^{jk\omega_0})=\frac1N\left.X_0(e^{j\omega})\right|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}
$$

因此DTFT中$\delta$函数的系数，相当于对单周期DTFT进行抽样：
$$
X(e^{j\omega})=\omega_0\left.X_0(e^{j\omega})\right|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k}
$$

应当指出，以上过程的$\delta$函数是连续情形的$\delta(x)$，而非离散的$\delta[n]$。

DFT：离散傅里叶变换

这是方便计算机处理而诞生的变换，没有物理意义。
$$
\begin{cases}
X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\
x(n)=IDFT[X(k)]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
\end{cases}
$$
其中，正变换可以看做：单周期（或主值序列）傅里叶变换在离散间隔的采样。在数学上，它是离散傅里叶级数的$N$倍，或者正比于离散周期信号DTFT在$\delta$函数前的系数。