【终结】一份傅里叶笔记

注：本文作者为@IcyChlorine，由于目前IcyChlorine尚未建立起个人网站，因此将内容暂时挂载到我的博客中。本文依旧使用CC BY-NC-SA 4.0协议，但署名时请署名为IcyChlorine。

2021.04.06更新：原贴地址：Fourier方法专栏-二-从傅里叶级数到傅里叶变换

IcyChlorine 2020-12-14

写在前面

自从大一学了傅里叶级数（并且没学好），大二的数理方法又错过了讲傅里叶变换的那节课（数理方法），就一直对傅里叶变换感觉懵懵懂懂，没学进去；虽然道理能搞懂、公式能照搬，但用起来总是没有信心；再加之傅里叶变换的具体方法和公式种类繁多，有时更让我摸不着头脑。由于计算物理要讲FFT,便打算趁这个机会查缺补漏，把傅里叶变换没有搞懂的地方彻底搞懂（指我自己的问题），整理成笔记。

这份笔记的内容应该包括：

• 从傅里叶级数到傅里叶变换的”推导“（是如何过渡过去的？）

  • 这里便会牵涉到各种不同的傅里叶公式

• 关于傅里叶级数敛散性的一些讨论（刘旭峰留下的坑，看了伍胜健的数分II中的相关内容才明白）

• 卷积的推导

从傅里叶级数到傅里叶变换

在高数课本中，给出的傅里叶级数公式为：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n \sin n_x)$$

​ 简单起见，我们假设函数没有瑕点，级数总能收敛

其中系数由积分给出：

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_\pi^\pi f(x)\cos nx \mathrm{d}x$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_\pi^\pi f(x)\sin nx \mathrm{d}x$$

这是来自于三角函数系的正交性:

$$\langle \cos mx|\cos nx\rangle=\pi\delta_{mn},\langle \sin mx|\sin nx\rangle=\pi\delta_{mn}$$

$$\langle \cos mx|\sin nx\rangle=0$$

这个结果看上去非常美丽，但却仍有一些问题：

• 为什么$n=0$的项要搞特殊？强迫症很痛苦啊！
  • 进一步来说，从数学上，为什么$n=0$的项很特殊呢？(显然我并不满足那个简单的定积分公式)
  • 所有三角函数看上去还是有点冗余/复杂.
• 这个形式要求$f(x)$必须是以$2\pi$为周期的函数，对一般函数不太好处理
• 这个形式很不容易推广/过渡到傅里叶变换上.

所幸我这两天发现了一个惊天秘密,可以解决这些问题.

简单起见,我们首先来看余弦项,把正弦项扔掉(或者说假定函数是偶函数):

$$ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_n}{2}\cos nx+\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2}\cos nx=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{a_n}{2}\cos nx$$

瞬间就统一了啊有木有!看看那个该死的$a_0$为什么要搞特殊…一下子就看清楚了.

但是问题还没有结束…这种trick对正弦项来说并没有什么卵用;事实上,它是不可推广的.事实^2上——上式更好的用法是当作一个不严谨的insight,作为一个入口.我们一会儿会回来再看一个式子.

更好的做法是,先向复数推广,我们考虑下列复数的傅里叶级数:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e_ne^{inx}$$

函数系$(e^{inx})_{n=-\infty}^{+\infty}$的正交性比三角函数系更有意思,也更令强迫症满意:

$$\langle e^{imx}|e^{inx}\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{inx}\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(m+n)x}\mathrm{d}x\\=\frac{1}{i(m+n)}e^{i(m+n)x}|_{-\pi}^\pi$$

等等,这怎么好像和我们以前看到的不对?

啊,让第二个指数项的指数加个负号就对了…这不就是共轭内积的定义吗!大师我悟了!(指内积为什么要定义成共轭内积的样子——不然,以这个粒子为例,指数函数系的正交性就无法得出了)

改变后的式子为:

$$\langle e^{imx}|e^{inx}\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-inx}\mathrm{d}x=\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(m-n)x}\mathrm{d}x\\=\frac{1}{i(m-n)}e^{i(m-n)x}|_{-\pi}^\pi=\frac{1}{i(m-n)}[e^{i(m-n)\pi}-e^{i(m-n)-\pi}]=\frac{2}{m-n}\sin (m-n)\pi=0$$

当然,看到分母上的$m-n$后,我立马反应过来,这应该是$m\neq n$时的情况…对于$m=n$的情况,应该是:

$$\langle e^{inx}|e^{inx}\rangle=\int_{-\pi}^\pi e^{inx}e^{-inx}\mathrm{d} x=\int_{-\pi}^\pi 1\ \mathrm{d}x=2\pi$$

于是统合起来就得到:$\langle e^{imx}|e^{inx}\rangle=2\pi\delta_{mn} $

值得注意的是:

• 这里的$mn$是任意整数,不需要是正数;这比三角函数系前进了一大步
• 这里的模长是$2\pi$而不是三角函数的$\pi$,这是很关键的
  • 事实上,这是由于$e^{inx}e^{-imx}=(\cos nx+i\sin nx)(\cos mx-i\sin mx)=\cos nx\cos mx+\sin nx\sin mx$造成的;”共轭”这一关键因素保证了另两项是相消的

于是我们可以写出复数形式的,函数的傅里叶级数:

$$f(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}e_ne^{inx}$$

其中

$$e_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)(e^{inx})^*\mathrm{d}x=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\mathrm{d}x=\frac{\langle f(x)|e^{inx}\rangle}{\langle e^{inx}|e^{inx}\rangle}$$

一般来说,$c_n$可以是复数.

为了加深对复数形式和三角形式的级数之间的关系的理解,我们再做一讨论.还记得前面那个被展开的三角形式傅里叶级数吗?我们换一种形式向负数展开:

$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty(c_n\cos nx+s_n\sin nx)\\=\sum_{n=-\infty}^\infty(e_n\cos nx+ie_n\sin nx)$$

于是,我们两边都可以得到系数关系(两种级数展开都具有唯一性,不难发现,于是可以比较系数):
$$
\begin{cases}
c_{-n}+c_n=a_n,c_0=a_0\\
-s_{-n}+s_n=b_n
\end{cases},\begin{cases}
c_n=e_n\\
s_n=ie_n
\end{cases}
$$
由右边可以得到$s_n=ic_n$,带入左边的下面一式,就可以得到$c_n$的方程组:
$$
\begin{cases}
c_{n}+c_{-n}=a_n,c_0=a_0\\
c_n-c_{-n}=-ib_n
\end{cases},s_n=ic_n
$$

由这一式,我们就可以由三角形式的傅里叶级数解出复指数形式的傅里叶级数(的系数),从而建立起了二者之间的联系.

作为特例,当函数为偶函数时,正弦项$b_n$全为零,有$c_n=c_{-n}$,于是就可以得到之前所说的$c_n=\frac{a_n}{2}$的形式,通过将正数那边的级数翻转一半到负数上,并使得形式统一(没错,指的就是$a_0/2$你这个兔崽子).这时的$s_n=ic_n=ia_n/2$,正数和负数上的部分相互抵消.这里是对前面的那个坑的交代

可以看到,从实到复、指标从正数(或者说自然数)推广到整数的过程是并不trivial的.两种形式下的系数关系略复杂(由线性方程组确定),在偶函数这个特例里有一个比较简单的形式.

指标从正数推广到整数(后面就会看到,这一步是推广到傅里叶变换的不可或缺的一步),很巧地,随着[从实到复]的推广过程自动完成了.这是我始料未及的.这在一定程度上源自于指数函数系$(e^{inx})_{n=-\infty}^\infty$在整个整数域(而不仅仅是正数)上的正交性.

另一方面,总体来说复指数形式的一切都比较简单,更具有数学的美和简洁.这表面上源自于指数含数系更好(更统一、更扁平)的正交性,根本上则来源于[一个复数天然地包括了两个实数,能携带比单个实数更多的信息]这一性质本身.指数函数通过欧拉公式统括了正弦和余弦两个函数,并使得最终的公式更为简洁.

从三角形式到复指数形式,我们已经向前迈进了一大步;但能处理的函数仍然仅限于周期为$2\pi$的函数.

事实上,对于具有任意周期$2T$的函数,我们只要进行变换$x=\frac{T}{\pi}\hat{x}$ ,就可以很方便的构造出以$\hat{x}$为自变量、以$2\pi$为周期的函数:$g(\hat{x})=f(\frac{T}{\pi}\hat{x})=f(x)$.相应地,复指数傅里叶级数及其系数的生成公式为:

$$g(\hat{x})=\sum^\infty_{n=-\infty}e_ne^{in\hat{x}},\quad e_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(\hat{x})e^{-in\hat{x}}\mathrm{d}\hat{x}$$

变换回$f(x)$的结果是:

$$f(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}e_ne^{i\frac{n\pi}{T}x}\\ e_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-i\frac{n\pi}{T}x}\mathrm{d}(\frac{\pi}{T}x)=\frac{1}{2T}\int_{-T}^T f(x)e^{-i\frac{n\pi}{T}x}\mathrm{d}x$$

若令$k=\frac{n\pi}{T}$,我们可以得到另一种等价的形式.

到这里,我们完成了从定长周期到一般周期的推广.

从针对周期函数的傅里叶级数到针对任意函数的傅里叶变换,一个常用的想法是设想$T\to\infty$;所幸在我们的充分的前期铺垫下,这一步会是很容易完成的.

令$T\to\infty$,则$f(x)$就愈发和任意函数接近;随着$T$作为分母愈发增大,$\frac{n\pi}{T}$就愈发稠密、愈发接近一个连续的谱.将前述和式过渡到连续的积分形式,就有:

$$f(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}e_ne^{i\frac{n\pi}{T}x}\to \int_{-\infty}^\infty F(n)e^{i\frac{n\pi}{T}x}\mathrm{d}n\\F(n)=\frac{1}{2T}\int_{T}^T f(x)e^{-i\frac{n\pi}{T}x}\mathrm{d}x\to\frac{1}{2T}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\frac{n\pi}{T}x}\mathrm{d}x$$

式中$F(n)\in\mathbb{C}$是$e_n$连续化的结果;其自变量$n$与$e_n$的下标是一致的,函数的意义是在”$n$空间”中的”模式密度”.

实际情况中,我们常常再进行一次变换,以图在变量更为简介的$k$下进行傅里叶变换:

$$f(x)\to\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}\mathrm{d}k$$

这对$F(k),F(n)$间提出了约束关系(注意,这说明了为什么二者会差一个系数):$F(n)\mathrm{d}n=F(k)\mathrm{d}k$

考虑到$k=\frac{\pi}{T}x\Leftrightarrow \mathrm{d}k=\frac{\pi}{T}\mathrm{d}n$,带入上式我们就有$F(k)=F(n)\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}k}=F(n)\frac T\pi$,再带回傅里叶展开式就有:

$$F(k)=\frac T\pi F(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}\mathrm{d}k\\f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}\mathrm{d}k$$

-OHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH!

至此,我们已经完整地推出了/过渡到了傅里叶变换的公式.值得注意的几点包括:

• 这里的波数$k=\frac{n\pi}T$作为数学定义出现,但仍然是与物理定义一致的

• 随着$T$趋于无穷,作为波数的$k=\frac{n\pi}{T}$的取值点也愈发稠密;只要考虑$F(k)$是连续函数,我们总可以在那些无理点和没有取值的有理点补充定义,将值补充定义为附近的有取值的$\frac{n\pi}{T}$点,获得一个完整的连续函数.这样一来,说明$F(k)$”定义是合理的”.

• 通过这样推导得出的傅里叶变换,我们自然而然地解决了正向变换中那个奇怪的负号问题($e^{-ikx}$)——它来自于复函数空间上的酉内积.

• 此外,经有这一推导,我们还自然地得出了傅里叶逆变换的公式.它与正向变换的公式差了一个负号.(表面看上去是这样.)

一些书中为了对称性(说的就是你,《数学物理方法》),会采用另一种写法,将正逆傅里叶变换中前面的系数统一写为$1/\sqrt{2\pi}$,但这只是些符号上的trick,其公式的其他部分、以及背后的数学思想,都是一致的.

总结一下.以上3000字,我们完成了这么几件事:

• 将三角形式傅里叶级数拓展为复指数形式傅里叶级数

  • 从实到复的拓展$\mathbb{R}\to\mathbb{C}$
  • 求和指标从自然数向整数的拓展$n\in\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$

• 将固定周期函数的傅里叶级数拓展为任意周期函数的傅里叶级数

  • $(-\pi,\pi)\to(-T,T)$

• 将离散的傅里叶级数拓展为连续的傅里叶变换(及其逆变换)

  • 从属于离散整数集的求和指标,拓展为属于连续的实数集的积分变量:$n\in \mathbb{Z}\to k\in \mathbb{R}$
  • 通过极限过程$T\to+\infty$完成
  • 因而,这一步拓展中包含了许多不严谨的部分;为$f,F$预设了许多美好的前提.详细严谨的分析还是请参考数学分析.

以下都是挖坑内容…不知道什么时候能填完

常用的傅里叶变换结果(小结论系列)

傅里叶级数敛散性的分析,Dirichlet 定理

大一上刘旭峰的高数课讲到傅里叶级数那一章时,旭峰上来不讲实用的结论却讲起了一大堆歪歪扭扭的定理;当时的我没有认出其中的几个trick,然后就跟不上,然后就弃疗了,…导致我后来的傅里叶学得一直不好(没有信心是更关键的).直到昨天(2020-12-14),搞了本伍胜健的《数学分析II》仔细研究傅里叶级数一章,回头再翻开旭峰高数的笔记一看,才发现歪歪扭扭地每个定理上都写着”数学分析”几个字.

近日也有能力了(看了数学分析并且看懂了;数学储备也足够了),打算做个笔记把这个历史遗留问题解决掉.(挖坑)

卷积

emm下次再说

离散傅里叶(DFT)与快速傅里叶变换(FFT)

下次再说，此处有它们间直观关系推导。